Day 1
第1章：Limits and Continuity 极限与连续性
极限是微积分的基石。本章从直观理解出发，逐步建立严格的极限概念，并学习连续性的判定与应用。
极限公式速查表
💡 记忆建议：这些是极限章节的核心公式，做题前先过一遍。
极限定义
\(\lim_{x\to a} f(x) = L\)
\(\lim_{x\to a} f(x) = L\)
左极限
\(\lim_{x\to a^-} f(x)\)
\(\lim_{x\to a^-} f(x)\)
右极限
\(\lim_{x\to a^+} f(x)\)
\(\lim_{x\to a^+} f(x)\)
极限存在条件
左极限 = 右极限
左极限 = 右极限
夹逼定理
\(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) 且 \(g,h\to L\) 则 \(f\to L\)
\(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) 且 \(g,h\to L\) 则 \(f\to L\)
第一重要极限
\(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
\(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
余弦极限
\(\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0\)
\(\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0\)
第二重要极限
\(\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e\)
\(\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e\)
垂直渐近线
\(\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty\)
\(\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty\)
水平渐近线
\(\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = L\)
\(\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = L\)
连续条件
① f(a)存在 ② \(\lim_{x\to a}f(x)\)存在 ③ 两者相等
① f(a)存在 ② \(\lim_{x\to a}f(x)\)存在 ③ 两者相等
间断点类型
可去/跳跃/无穷
可去/跳跃/无穷
IVT
f在[a,b]连续，f(a)<k<f(b) ⇒ ∃c使f(c)=k
f在[a,b]连续，f(a)<k<f(b) ⇒ ∃c使f(c)=k
交互式极限探索器
🖱️ 动手试试：拖动滑块让 x 从左右两侧逼近 2，观察函数值如何无限接近 4。函数在 x=2 处有一个"洞"，但极限仍然存在。
3.1 Definition of Limits 极限的定义
极限描述的是函数值趋近于某个值的行为，而不是函数等于某个值。直观地说：
直观定义（Intuitive Definition）
如果当 \(x\) 无限接近 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 无限接近某个常数 \(L\)，则称 \(L\) 是 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的极限，记作：
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = L\]
💡 关键理解：极限关心的是"趋近于"的行为，不关心函数在 \(x_0\) 处是否定义，也不关心 \(f(x_0)\) 的值是多少。
3.2 Left-hand and Right-hand Limits 左右极限
极限存在的充要条件：左右极限都存在且相等。
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = L \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L\]
Example 1 Find \(\lim_{x \to 1} \dfrac{|x-1|}{x-1}\).
Solution: When \(x < 1\), \(|x-1| = -(x-1)\), so the expression = \(-1\).
When \(x > 1\), \(|x-1| = x-1\), so the expression = \(1\).
Left limit = \(-1\), right limit = \(1\). They are not equal.
Therefore, \(\lim_{x \to 1} \frac{|x-1|}{x-1}\) does not exist.
When \(x > 1\), \(|x-1| = x-1\), so the expression = \(1\).
Left limit = \(-1\), right limit = \(1\). They are not equal.
Therefore, \(\lim_{x \to 1} \frac{|x-1|}{x-1}\) does not exist.
Example 2 For \(f(x) = \begin{cases} x^2, & x \neq 1 \ 5, & x = 1 \end{cases}\), find \(\lim_{x \to 1} f(x)\).
Solution: When \(x \neq 1\), \(f(x) = x^2\). As \(x \to 1\), \(x^2 \to 1\).
Note that \(f(1) = 5\) but \(\lim_{x \to 1} f(x) = 1\).
This illustrates: the limit does NOT depend on the function value at the point!
Note that \(f(1) = 5\) but \(\lim_{x \to 1} f(x) = 1\).
This illustrates: the limit does NOT depend on the function value at the point!
3.3 Rules of Limits 极限的运算法则
设 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，\(\lim_{x \to x_0} g(x) = B\)，则：
常数法则
\[\lim_{x \to x_0} C = C\]
常数倍法则
\[\lim_{x \to x_0} kf(x) = kA\]
加减法则
\[\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B\]
乘法法则
\[\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B\]
除法法则（\(B \neq 0\)）
\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\]
幂法则
\[\lim_{x \to x_0} [f(x)]^n = A^n\]
⚠️ 注意：使用运算法则的前提是每个拆开的极限都必须存在！如果某个子极限不存在，不能直接用法则。
基本初等函数的极限
所有基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）在其定义域内都满足：
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]也就是说：只需把 \(x = x_0\) 代入函数即可。
有理函数在无穷远处的极限
对于 \(f(x) = \dfrac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_0}\)（\(a_n \neq 0, b_m \neq 0\)）：
\[\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \begin{cases} \dfrac{a_n}{b_m}, & n = m \\[1em] \pm\infty, & n > m \\[1em] 0, & n < m \end{cases}\]
Example 3 Evaluate \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{2-4x+5x^2}{3x^2-3x+1}\).
Solution: Divide each term by \(x^2\) (the highest power in denominator):
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^2}-\frac{4}{x}+5}{3-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}} = \frac{0-0+5}{3-0+0} = \frac{5}{3}\)
Since \(n = m = 2\), the limit equals the ratio of leading coefficients: \(\frac{5}{3}\).
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^2}-\frac{4}{x}+5}{3-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}} = \frac{0-0+5}{3-0+0} = \frac{5}{3}\)
Since \(n = m = 2\), the limit equals the ratio of leading coefficients: \(\frac{5}{3}\).
3.4 Two Important Limits 两个重要极限
第一重要极限（The First Important Limit）
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]推论（Corollaries）：
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a\] \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b}\] \[\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0\]
Example 4 Evaluate \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}\).
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1\)
第二重要极限（The Second Important Limit）
\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\] \[\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e\]
Example 5 Find \(\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}}\).
Let \(t = 2x\), then as \(x \to 0\), \(t \to 0\).
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{2}{t}} = \left[\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^2 = e^2\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{2}{t}} = \left[\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^2 = e^2\)
3.5 Application of Limits: Finding Asymptotes 渐近线
水平渐近线 Horizontal Asymptote: \(y = c\) 是水平渐近线，如果：
\[\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = c\]垂直渐近线 Vertical Asymptote: \(x = k\) 是垂直渐近线，如果：
\[\lim_{x \to k^{\pm}} f(x) = \pm\infty\]
Example 6 Find all asymptotes of \(f(x) = \dfrac{1-2x}{x+1}\).
Horizontal: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1-2x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x}-2}{1+\frac{1}{x}} = -2\) → \(y = -2\)
Vertical: Denominator = 0 at \(x = -1\). Check: \(\lim_{x \to -1} \frac{1-2x}{x+1} = \pm\infty\) → \(x = -1\)
Vertical: Denominator = 0 at \(x = -1\). Check: \(\lim_{x \to -1} \frac{1-2x}{x+1} = \pm\infty\) → \(x = -1\)
3.6 Continuity 连续
函数在某点连续的条件
\(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 处连续，当且仅当同时满足：
- \(f(x_0)\) 有定义
- \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在（左右极限相等）
- \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)
📌 记忆口诀："有定义、极限存、极限等于函数值"——三个条件缺一不可！
所有基本初等函数在其定义域内都是连续的。有理函数 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 在 \(Q(x) = 0\) 处不连续。
三大连续函数定理
最值定理 Extreme Value Theorem
若 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在该区间上必有最大值和最小值。
介值定理 Intermediate Value Theorem
若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(N\) 介于 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 之间，则存在 \(c \in (a,b)\) 使 \(f(c) = N\)。
零点定理 Zero Point Theorem
若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续且 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)，则存在 \(c \in (a,b)\) 使 \(f(c) = 0\)。
Practice Problems 课后练习
完成以下练习来检验你对本章的掌握程度。建议在纸上完成后再对照答案。
1
\(\lim_{x \to 2} (4x^2 - x + 18)\)
2
\(\lim_{x \to \infty} \dfrac{1-4x^5+6x^4}{2x^5-3x^3+128}\)
3
\(\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x)}{\sin(5x)}\)