Day 2–3

第2章：Rules for Finding Derivatives 求导法则

掌握所有求导技巧：从基本公式到链式法则、隐函数求导和对数求导。这是AP微积分BC计算能力的核心。

2.1 导数定义 2.2 基本公式 2.3 乘积与商法则 2.4 链式法则 2.5 隐函数求导 2.6 对数求导 2.7 高阶导数 2.8 反函数求导 2.9 参数求导 2.10 极坐标求导 2.11 复合函数链式 2.12 向量求导课后练习

2.1 导数的定义

导数定义（Derivative Definition）

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

导数的几何意义：函数 \(y=f(x)\) 在点 \((x_0, f(x_0))\) 处的切线斜率。

导数的物理意义：瞬时变化率（如速度是位移的导数）。

🖱️ 动手试试：拖动滑块改变切点位置，观察抛物线上每一点的切线和斜率如何变化。绿色切线的斜率就是该点的导数值 f'(x)。

Example 1 用定义求 \(f(x) = x^2\) 的导数。

\(\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}\)
\(\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x\)

2.2 基本求导公式表

💡 记忆建议：这些公式是求导的基本功，必须烂熟于心。建议每天默写一遍。

\(\frac{d}{dx}(c) = 0\)

\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\)

\(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)

\(\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\)

\(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

\(\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}\)

\(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)

\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)

\(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\)

\(\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}\)

2.3 乘积法则与商法则

Product Rule 乘积法则

\[\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\]

Quotient Rule 商法则

\[\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\]

📌 记忆口诀：乘积法则——"前导后不导 + 前不导后导"。商法则——"分子：上导下不导减上不导下导；分母：下方平方"。

2.4 链式法则 Chain Rule（重点！）

\[\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

即：外层函数导数 × 内层函数导数

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Example 2 求 \(y = \sin(x^2)\) 的导数。

设 \(u = x^2\)，则 \(y = \sin(u)\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)\)

2.5 隐函数求导 Implicit Differentiation

当 \(y\) 没有显式表示为 \(x\) 的函数时（如 \(x^2 + y^2 = 25\)），等式两边同时对 \(x\) 求导，遇到 \(y\) 时用链式法则：\(\frac{d}{dx}(y) = y'\), \(\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot y'\)。

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Example 3 若 \(x^2 + y^2 = 25\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

两边对 \(x\) 求导：\(2x + 2y \cdot y' = 0\)
解出 \(y' = -\frac{x}{y}\)（其中 \(y \neq 0\)）

2.6 对数求导法 Logarithmic Differentiation

对于形如 \(y = [f(x)]^{g(x)}\) 的函数，先取对数再求导：

取自然对数：\(\ln y = g(x) \cdot \ln[f(x)]\)
两边对 \(x\) 求导：\(\frac{y'}{y} = g'(x)\ln[f(x)] + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\)
解出：\(y' = y \cdot [g'(x)\ln f(x) + \frac{g(x)f'(x)}{f(x)}]\)

Example 4 求 \(y = x^x\)（\(x > 0\)）的导数。

取对数：\(\ln y = x \ln x\)
求导：\(\frac{y'}{y} = \ln x + 1\)
\(y' = x^x(\ln x + 1)\)

2.7 高阶导数 Higher Order Derivatives

二阶导数 \(f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]\)，表示变化率的变化率（加速度）。

三阶导数 \(f'''(x)\)，n阶导数 \(f^{(n)}(x)\)。

AP考试中常见考点：用二阶导数判断凹凸性（第3章详细讲解）。

2.8 反函数求导 Inverse Function Derivatives

反函数 \(f^{-1}(x)\) 和原函数 \(f(x)\) 在几何上关于直线 \(y=x\) 对称。这意味着：

反函数的 \(x\) 就是原函数的 \(y\)
反函数的 \(y\) 就是原函数的 \(x\)
在对应点处，切线斜率互为倒数

反函数求导公式（Inverse Function Theorem）

\[(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

或用莱布尼茨记法：

\[\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}\]

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Example 7（反函数求导） 若 \(f(x) = x^3 + 2x\)，求 \((f^{-1})'(3)\)。

Step 1：先找出 \(f^{-1}(3) = ?\) 即解 \(f(a) = a^3 + 2a = 3\)
猜测 \(a = 1\)：\(1^3 + 2(1) = 3\) ✓，所以 \(f^{-1}(3) = 1\)
Step 2：求原函数导数 \(f'(x) = 3x^2 + 2\)
Step 3：代入公式：\((f^{-1})'(3) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(3))} = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{3(1)^2 + 2} = \dfrac{1}{5}\)

📌 记忆口诀：反函数的导数 = 原函数导数的倒数（在对应点处）。关键是先找出对应点！反函数的 \(x\) 是原函数的 \(y\)。

2.9 参数方程求导 Parametric Derivatives

当 x 和 y 都用参数 t 表示时：\(x = x(t),\; y = y(t)\)，求导公式：

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}\]

二阶导数：

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}\]

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Example 5（参数求导） 若 \(x = t^2 - 1,\; y = t^3 - 2t^2\)，求 \(\frac{dy}{dx}\) 在 \(t = 2\) 时的值。

\(\frac{dx}{dt} = 2t,\quad \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 4t\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 4t}{2t} = \frac{3t - 4}{2}\)
当 \(t = 2\)：\(\frac{dy}{dx} = \frac{3(2) - 4}{2} = 1\)

📌 易错点：参数求导的二阶导数不是直接把一阶导数再对t求导，还要再除以 dx/dt！很多同学这里丢分。

2.10 极坐标函数求导 Polar Derivatives

极坐标 \(r = f(\theta)\) 转直角坐标：\(x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta\)

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}\]

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Example 6（极坐标求导） 求 \(r = 2 + 4\sin\theta\) 在 \(\theta = \pi/6\) 处的切线斜率。

\(r' = 4\cos\theta\)
\(x = r\cos\theta = (2+4\sin\theta)\cos\theta,\; y = r\sin\theta = (2+4\sin\theta)\sin\theta\)
代入公式：\(\frac{dy}{dx} = \frac{4\cos\theta\sin\theta + (2+4\sin\theta)\cos\theta}{4\cos\theta\cos\theta - (2+4\sin\theta)\sin\theta}\)
\(\theta = \pi/6\) 时：\(r = 2+4(1/2) = 4,\; r' = 4(\sqrt{3}/2) = 2\sqrt{3}\)
代入得 \(\frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{3}(1/2) + 4(\sqrt{3}/2)}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}/2) - 4(1/2)} = \frac{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{3-2} = 3\sqrt{3}\)

2.11 复合函数链式法则强化 — 看清"谁包谁"！

🔑 求导的关键在于看到谁是外层谁是内层，最后要乘以一个内层的导数。

链式法则的本质就是"洋葱剥皮法"：从外到内一层一层求导，每层都要乘上内层函数的导数。

三步识别法

识别外层：如果把这个函数当成一个"整体运算"，最外面是什么？是 sin？是 ln？是 ( )³？
外层求导：对外层函数求导，内层原封不动保留
乘内层导数：再乘上内层函数的导数

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📺 哥伦比亚大学数学专业大一新生讲解，洋葱剥皮法层层击破

Example 7（多层复合） 求 \(y = \sin^3(2x^2+1)\) 的导数。

分析层次：最外层是 \((\;)^3\) → 中间层是 \(\sin(\;)\) → 最内层是 \(2x^2+1\)
求导：\(y' = 3\sin^2(2x^2+1) \cdot \cos(2x^2+1) \cdot 4x\)
化简：\(y' = 12x \cdot \sin^2(2x^2+1) \cdot \cos(2x^2+1)\)

📌 常见错误：忘记乘内层导数！例如 \(\frac{d}{dx}\sin(x^2)\) 写成了 \(\cos(x^2)\) 而忘了乘 \(2x\)。
正确：\(\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)\)

Example 8（复杂复合） 求 \(y = \ln(\cos(e^x))\) 的导数。

外层：\(\ln(\;)\) → 导数 \(\frac{1}{\cos(e^x)}\)
中层：\(\cos(\;)\) → 导数 \(-\sin(e^x)\)
内层：\(e^x\) → 导数 \(e^x\)
\(y' = \frac{1}{\cos(e^x)} \cdot (-\sin(e^x)) \cdot e^x = -e^x \tan(e^x)\)

2.12 向量函数求导 Vector-Valued Functions

AP微积分BC中，向量函数表示为 \(\mathbf{r}(t) = \langle f(t),\, g(t) \rangle\)。

基本规则

\[\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t),\, g'(t) \rangle\]

速度向量：\(\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)\)

加速度向量：\(\mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t) = \langle f''(t),\, g''(t) \rangle\)

速率（标量）：\(\text{speed} = \|\mathbf{v}(t)\| = \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2}\)

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📺 哥伦比亚大学数学专业大一新生讲解，掌握向量函数求导与运动学应用

Example 9（向量求导） 若 \(\mathbf{r}(t) = \langle t^2 - 3t,\; \ln t \rangle\)，求 \(\mathbf{r}'(t)\) 和 \(t=1\) 时的速率。

\(\mathbf{r}'(t) = \langle 2t - 3,\; \frac{1}{t} \rangle\)
当 \(t = 1\)：\(\mathbf{v}(1) = \langle -1,\; 1 \rangle\)
\(\text{speed} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

课后练习

\(\frac{d}{dx}(x^3 \cdot \sin x) = ?\)

\(3x^2\sin x + x^3\cos x\)

\(3x^2\cos x\)

\(x^3\cos x\)

\(6x\sin x\)

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正确答案：\(3x^2\sin x + x^3\cos x\)

使用乘积法则：\((uv)' = u'v + uv'\)。令 \(u=x^3\)，\(v=\sin x\)，则 \(u'=3x^2\)，\(v'=\cos x\)。因此 \(y' = 3x^2\sin x + x^3\cos x\)。

\(\frac{d}{dx}[\ln(\cos x)] = ?\)

\(\frac{1}{\cos x}\)

\(-\tan x\)

\(\tan x\)

\(\cot x\)

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正确答案：\(-\tan x\)

令 \(u = \cos x\)，则 \(\frac{d}{dx}[\ln u] = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x\)。

若 \(y^3 + xy = 1\)，则 \(\frac{dy}{dx}\) 在点 \((0,1)\) 处的值是？

\(0\)

\(-\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(-1\)

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正确答案：\(-\frac{1}{3}\)

两边对 \(x\) 求导（记住 \(y\) 是 \(x\) 的函数）：\((y^3)' + (xy)' = 0\)，即 \(3y^2\frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} = 0\)。代入点 \((0,1)\)：\(3\cdot 1^2 \cdot y' + 1 + 0 = 0\)，解得 \(y' = -\frac{1}{3}\)。

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课后作业

40道精选练习题，把今天学到的知识点运用出来。配合AI检查和改作业，检查错误并给出正确答案。

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