Day 11-12
第6章：Infinite Series 无穷级数
无穷级数是AP微积分BC最具挑战性的章节。从几何级数出发，掌握五大审敛法，最终理解幂级数与Taylor展开这一强大的函数逼近工具。
微分方程公式速查表
💡 记忆建议：这些是微分方程章节的核心公式，做题前先过一遍。
分离变量法
\(\frac{dy}{dx}=g(x)h(y) \Rightarrow \int\frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx\)
\(\frac{dy}{dx}=g(x)h(y) \Rightarrow \int\frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx\)
指数增长/衰减
\(\frac{dy}{dt}=ky \Rightarrow y=Ce^{kt}\)
\(\frac{dy}{dt}=ky \Rightarrow y=Ce^{kt}\)
Logistic 方程
\(\frac{dP}{dt}=kP(1-\frac{P}{M})\)
\(\frac{dP}{dt}=kP(1-\frac{P}{M})\)
Logistic 解
\(P(t)=\frac{M}{1+Ae^{-kt}}, A=\frac{M-P_0}{P_0}\)
\(P(t)=\frac{M}{1+Ae^{-kt}}, A=\frac{M-P_0}{P_0}\)
Euler 方法
\(y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)\)
\(y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)\)
斜率场
各点的瞬时斜率
各点的瞬时斜率
通解 vs 特解
通解含常数C，特解由初始条件确定
通解含常数C，特解由初始条件确定
二阶线性
\(ay''+by'+cy=0\) 特征方程 \(ar^2+br+c=0\)
\(ay''+by'+cy=0\) 特征方程 \(ar^2+br+c=0\)
二阶通解
两不等实根→\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
两不等实根→\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
欧拉公式
\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)
\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)
6.1 Sequences and Series 序列与级数的基本概念
序列 Sequence
序列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(L\)，如果 \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)（有限值）。否则发散。
级数 Series
无穷级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 是部分和序列 \(\{S_N\}\) 的极限：
\[S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n, \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} S_N\]若该极限存在（有限值），则级数收敛（converges）；否则发散（diverges）。
核心思想：级数收敛 ⟺ 部分和序列有有限极限。判断级数的收敛性是本章的核心任务。
6.2 Three Basic Series 三种基本级数
1. 几何级数 Geometric Series
\[\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots\]收敛条件：当 \(|r| < 1\) 时收敛，且和为：
\[\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1\]当 \(|r| \ge 1\) 时发散。
2. p-级数 p-Series
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots\]收敛条件：收敛当且仅当 \(p > 1\)；发散当 \(p \le 1\)。
3. 调和级数 Harmonic Series
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots\]发散！虽然 \(\frac{1}{n} \to 0\)，但调和级数的部分和趋向无穷大。这是最经典的反直觉例子。
Example 1 Determine whether \(\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n\) converges. If so, find its sum.
Solution: This is a geometric series with \(a = 1\), \(r = \frac{1}{3}\).
Since \(|r| = \frac{1}{3} < 1\), the series converges.
Sum: \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\).
Since \(|r| = \frac{1}{3} < 1\), the series converges.
Sum: \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\).
6.3 Five Convergence Tests 五大审敛法
以下五大审敛法是AP微积分BC的核心考点，必须熟练掌握：
1. n项检验法 Nth Term Test (Divergence Test)
\[\text{若 } \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, \text{ 则 } \sum a_n \text{ 发散}\]注意：若 \(\lim a_n = 0\)，不能判断级数收敛！（如调和级数）
2. 积分判别法 Integral Test
若 \(f(x)\) 连续、正、递减，且 \(a_n = f(n)\)，则：
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ 收敛}\]3. 比较判别法 Comparison Test
若 \(0 \le a_n \le b_n\)（对所有足够大的 \(n\)）：
- 若 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum a_n\) 收敛
- 若 \(\sum a_n\) 发散，则 \(\sum b_n\) 发散
4. 比值判别法 Ratio Test（最常用！）
计算极限：\(\displaystyle\rho = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)
- 若 \(\rho < 1\)，级数绝对收敛
- 若 \(\rho > 1\)（或无穷大），级数发散
- 若 \(\rho = 1\)，无法判定
5. 交错级数判别法 Alternating Series Test
对于 \(\sum (-1)^{n-1} b_n\)（\(b_n > 0\)），若满足：
- \(b_{n+1} \le b_n\)（递减）
- \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\)
则交错级数收敛。
Example 2 Determine the convergence of \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}\) using the Ratio Test.
Solution: \(a_n = \frac{n!}{n^n}\), \(a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\).
\(\displaystyle\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!}\)
\(\displaystyle= \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} < 1\)
Since \(\rho = \frac{1}{e} < 1\), the series converges absolutely.
\(\displaystyle\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!}\)
\(\displaystyle= \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} < 1\)
Since \(\rho = \frac{1}{e} < 1\), the series converges absolutely.
6.4 Power Series 幂级数
幂级数的定义
以 \(x = a\) 为中心的幂级数：
\[\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots\]收敛半径与收敛区间
对幂级数 \(\sum c_n (x-a)^n\)，存在一个数 \(R \ge 0\)（收敛半径）使得：
- 当 \(|x-a| < R\) 时，级数绝对收敛
- 当 \(|x-a| > R\) 时，级数发散
- 当 \(|x-a| = R\) 时，需单独判定（端点检验）
收敛区间为 \((a-R, a+R)\)，加上可能收敛的端点。
\[R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \quad \text{或} \quad R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}\]
Example 3 Find the radius and interval of convergence for \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\).
Solution: Use Ratio Test on \(a_n = \frac{x^n}{n}\).
\(\displaystyle\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{x^n}\right| = |x| \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = |x|\)
Converges when \(|x| < 1\), diverges when \(|x| > 1\). So \(R = 1\).
Endpoint check:
\(x = 1\): \(\sum \frac{1}{n}\) (harmonic series) → diverges.
\(x = -1\): \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\) (alternating harmonic series) → converges.
Interval of convergence: \([-1, 1)\).
\(\displaystyle\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{x^n}\right| = |x| \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = |x|\)
Converges when \(|x| < 1\), diverges when \(|x| > 1\). So \(R = 1\).
Endpoint check:
\(x = 1\): \(\sum \frac{1}{n}\) (harmonic series) → diverges.
\(x = -1\): \(\sum \frac{(-1)^n}{n}\) (alternating harmonic series) → converges.
Interval of convergence: \([-1, 1)\).
6.5 Taylor and Maclaurin Series 泰勒与麦克劳林级数
泰勒级数是幂级数的"终极形式"——用多项式无限逼近任意光滑函数。
Taylor Series（在 \(x = a\) 处展开）
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n\]Maclaurin Series（在 \(x = 0\) 处展开，Taylor的特例）
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\]
核心公式记忆：第 \(n\) 项系数 = \(\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\)。关键在于求出各阶导数在展开点的值。
重要函数的 Maclaurin 级数（必须记住！）
\(e^x\)
\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]
\(\sin x\)
\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\]
\(\cos x\)
\[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\]
\(\frac{1}{1-x}\)
\[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots, \quad |x|<1\]
🖱️ 动手试试：拖动 n 增加泰勒多项式的项数，观察它如何一步步逼近蓝色的 eˣ 曲线。项数越多，在更远处也越精确。
Example 4 Find the Maclaurin series for \(f(x) = e^x\) and determine its radius of convergence.
Solution: \(f^{(n)}(x) = e^x\) for all \(n\), so \(f^{(n)}(0) = 1\).
Maclaurin series: \(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
Radius of convergence: Use Ratio Test:
\(\displaystyle\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|}{n+1} = 0\) for any \(x\).
Since \(\rho = 0 < 1\) for all \(x\), \(R = \infty\). The series converges for all real \(x\).
Maclaurin series: \(\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
Radius of convergence: Use Ratio Test:
\(\displaystyle\rho = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|}{n+1} = 0\) for any \(x\).
Since \(\rho = 0 < 1\) for all \(x\), \(R = \infty\). The series converges for all real \(x\).
Practice Problems 课后练习
完成以下练习来检验你对本章的掌握程度。建议在纸上完成后再对照答案。
1
级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}\) 的收敛性为：
2
幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n}\) 的收敛半径为：
3
\(\sin x\) 的 Maclaurin 级数中，\(x^5\) 项的系数为：