Day 9-10

第5章：Definite Integral 定积分

从Riemann和的极限出发，建立定积分的严格定义，掌握微积分基本定理（FTC）这一核心工具，并探索定积分在面积与体积中的精彩应用。

5.1 Riemann和与定义 5.2 几何意义 5.3 定积分性质 5.4 微积分基本定理 5.5 换元法定积分 5.6 面积应用 5.7 体积应用 课后练习

定积分应用公式速查表

💡 记忆建议：这些是定积分应用章节的核心公式，做题前先过一遍。
面积
\(A = \int_a^b f(x)dx\)
两曲线间面积
\(A = \int_a^b [f(x)-g(x)]dx\)
圆盘法体积
\(V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx\)
垫圈法体积
\(V = \pi\int_a^b ([R(x)]^2-[r(x)]^2)dx\)
壳法体积
\(V = 2\pi\int_a^b x f(x)dx\)
弧长
\(L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\)
参数方程弧长
\(L = \int_a^b \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt\)
旋转表面积
\(S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\)
平均值
\(f_{avg} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\)
功
\(W = \int_a^b F(x)dx\)
参数面积
\(A = \int_a^b y(t)x'(t)dt\)
极坐标面积
\(A = \frac{1}{2}\int_a^b r^2 d\theta\)

5.1 Riemann Sums and the Definite Integral 黎曼和与定积分定义

定积分的思想源于一个朴素的问题：如何求曲线下方的面积？答案是用矩形来逼近。

将区间 \([a, b]\) 等分为 \(n\) 个子区间：

\[\Delta x = \frac{b-a}{n}, \quad x_i = a + i\Delta x\]

在每个子区间上取一个样本点 \(x_i^*\)，构造黎曼和（Riemann Sum）：

\[\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\]
x y a b 右端点黎曼和 (n=8)：Σ f(xᵢ)Δx 逼近曲线下方面积
图1：右端点黎曼和逼近曲线 y=f(x) 下方的面积。当 n→∞ 时，矩形面积之和趋近于定积分值。

定积分的严格定义

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\]

如果该极限存在（不依赖于样本点的选取），则称 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积（integrable）。

🖱️ 动手试试：拖动 n 增加矩形数量，拖动 a、b 调整积分区间。观察蓝色矩形面积之和如何逼近真实的定积分值。
可积性条件：若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，或有有限个跳跃间断点，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积。
注意：黎曼和的样本点可以取左端点、右端点、中点或任意点——当 \(n \to \infty\) 时，只要函数可积，它们都收敛到同一个值。

5.2 Geometric Interpretation 定积分的几何意义

定积分的几何意义是曲线下的带符号面积（signed area）：

  • 当 \(f(x) \ge 0\) 时，\(\int_a^b f(x)\,dx\) 表示曲线下方的正面积。
  • 当 \(f(x) \le 0\) 时，\(\int_a^b f(x)\,dx\) 为负值，等于x轴上方对应面积的相反数。
  • 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上变号，积分 = (x轴上方面积) − (x轴下方面积)。
x y +A −A 0 π 2π ∫₀²π sin x dx = (+A) + (−A) = 0
图2：sin x 在 [0, 2π] 上的带符号面积。绿色区域为正面积，红色区域为负面积，两者相等，积分值为0。
Example Interpret \(\int_0^{2\pi} \sin x\,dx\) geometrically.
\(\sin x\) 在 \([0, \pi]\) 上 ≥ 0，在 \([\pi, 2\pi]\) 上 ≤ 0。
两段面积相等，符号相反：\(\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0\)。
这就是"带符号面积"的含义——正负面积相互抵消！

5.3 Properties of Definite Integrals 定积分的性质

方向性 \[\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx\]
零长度 \[\int_a^a f(x)\,dx = 0\]
线性（Linear） \[\int_a^b [cf(x) \pm g(x)]dx = c\int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx\]
区间可加性 \[\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx\]
比较性质 \[f(x) \le g(x) \implies \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx\]
估值定理 \[m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a)\]

5.4 The Fundamental Theorem of Calculus 微积分基本定理

FTC 是微积分中最重要的定理——它揭示了微分和积分是互逆运算。这个发现是牛顿和莱布尼茨最伟大的贡献。

a x b g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt FTC Part 1: g'(x) = f(x) — 面积函数的导数等于原函数！ t y
图3：FTC Part 1 的几何解释。g(x) 是 f 从 a 到 x 的累积面积，其变化率恰好等于 f(x)。

FTC Part 1（积分上限函数的导数）

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，定义 \(g(x) = \int_a^x f(t)\,dt\)，则：

\[g'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\]

链式法则推广：

\[\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x)) \cdot u'(x)\]

这告诉我们：微分运算"撤销"了积分运算——对积分上限函数求导，就回到被积函数本身。

FTC Part 2（定积分的计算）

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(F\) 是 \(f\) 的任意一个原函数（即 \(F'(x) = f(x)\)），则：

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\]

这告诉我们：积分运算"撤销"了微分运算——要计算定积分，只需找到原函数，代入上下限即可！

Example 1 Evaluate \(\int_0^2 (x^2+1)\,dx\) using FTC Part 2.
Solution: Find antiderivative: \(F(x) = \frac{x^3}{3} + x\).
Apply FTC: \(F(2) - F(0) = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - 0 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}\).
\(\displaystyle\int_0^2 (x^2+1)\,dx = \frac{14}{3}\).
Example 2 Find \(\frac{d}{dx}\int_1^x \sin(t^2)\,dt\) using FTC Part 1.
Solution: By FTC Part 1, if \(f(t) = \sin(t^2)\) is continuous, then:
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^x \sin(t^2)\,dt = \sin(x^2)\).
直接替换积分变量为上限即可——不需要先积分再求导！这就是FTC的威力。

5.5 Integration by Substitution 换元法定积分

换元法（U-Substitution）是链式法则的逆运算。对于定积分，必须同时变换积分限——这是最容易出错的地方！

\[\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du\]
关键步骤（四步法）：
① 设 \(u = g(x)\)（选择内部函数）
② 求 \(du = g'(x)dx\)（不要忘记这一步！）
③ 变换积分限：\(x=a \Rightarrow u=g(a)\)，\(x=b \Rightarrow u=g(b)\)
④ 计算新积分 \(\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du\)
Example 3 Evaluate \(\int_0^1 x e^{x^2}\,dx\) using substitution.
Solution: Let \(u = x^2\), then \(du = 2x\,dx\), so \(x\,dx = \frac{1}{2}du\).
Limits: \(x=0 \Rightarrow u=0\); \(x=1 \Rightarrow u=1\).
\(\displaystyle\int_0^1 x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du = \frac{1}{2}\left[e^u\right]_0^1 = \frac{1}{2}(e-1)\).
Example 3b Evaluate \(\int_0^{\pi/4} \tan x\,dx\).
Solution: Write \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\). Let \(u = \cos x\), \(du = -\sin x\,dx\).
Limits: \(x=0 \Rightarrow u=1\); \(x=\frac{\pi}{4} \Rightarrow u=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\displaystyle\int_0^{\pi/4} \tan x\,dx = -\int_1^{\sqrt{2}/2} \frac{1}{u}\,du = \left[-\ln|u|\right]_1^{\sqrt{2}/2} = \ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2\).

5.6 Applications: Area Between Curves 曲线间的面积

定积分最经典的应用：计算两条曲线之间的面积。

y=f(x) y=g(x) a b A = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx
图4：两条曲线之间的面积。蓝色区域 = ∫[上曲线 − 下曲线] dx。

面积公式

\[A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx\]

其中 \(f(x)\) 是上边界，\(g(x)\) 是下边界，\(a \le x \le b\)。

Example 4 Find the area bounded by \(y = x^2\) and \(y = x\) from \(x = 0\) to \(x = 1\).
Solution: On [0,1], \(x \ge x^2\) (因为 x−x² = x(1−x) ≥ 0).
Upper = \(x\), Lower = \(x^2\).
\(A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\).
两条曲线在 x=0 和 x=1 处相交。

5.7 Applications: Volume of Revolution 旋转体体积

将平面曲线绕坐标轴旋转一周，就得到了一个旋转体（Solid of Revolution）。求它的体积是定积分最精彩的应用之一。

x (旋转轴) R=f(x) 截面是半径为 f(x) 的圆：面积 = π[f(x)]² Disc Method: V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
图5：Disc Method（圆盘法）。曲线绕x轴旋转，每个截面都是半径为f(x)的圆。
x (旋转轴) R(x) 外半径 r(x) 内半径 截面是环形（washer）：面积 = π[R² − r²] Washer Method: V = π ∫ₐᵇ ([R(x)]² − [r(x)]²) dx
图6：Washer Method（垫圈法）。两条曲线之间的区域绕轴旋转，截面为环形（外圆减内圆）。
y (旋转轴) 展开 = 2πx·f(x)·dx 半径=x 高=f(x) Shell Method: V = 2π ∫ₐᵇ x·f(x) dx
图7：Shell Method（圆柱壳法）。将曲线绕y轴旋转，每个薄壳展开后是2πx（周长）× f(x)（高）× dx（厚）的矩形。

三种方法的对比

方法 旋转轴 公式 适用场景
Disc x轴 \(V = \pi\int [f(x)]^2 dx\) 单条曲线，区域紧贴旋转轴
Washer x轴 \(V = \pi\int ([R]^2-[r]^2) dx\) 两条曲线之间，区域不紧贴旋转轴
Shell y轴 \(V = 2\pi\int x f(x) dx\) 绕y轴旋转，或当x=f(y)不方便表达时
Example 5 Find the volume of the solid obtained by rotating \(y = x^2\) about the \(x\)-axis from \(x = 0\) to \(x = 2\).
Solution: Using Disc Method: \(V = \pi \int_0^2 (x^2)^2\,dx = \pi \int_0^2 x^4\,dx\).
Antiderivative: \(F(x) = \frac{x^5}{5}\).
\(V = \pi \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}\).
Example 6 Find the volume when the region between \(y = x\) and \(y = x^2\) from \(x = 0\) to \(x = 1\) is revolved about the \(x\)-axis.
Solution: Use Washer Method. On [0,1], \(x \ge x^2\).
\(R(x) = x\) (outer), \(r(x) = x^2\) (inner).
\(V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^2)^2)\,dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx\)
\(= \pi\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}\).

Practice Problems 课后练习

完成以下练习来检验你对本章的掌握程度。建议在纸上完成后再对照答案。

1
\(\frac{d}{dx}\int_2^{x^2} \sqrt{1+t^3}\,dt\)
\(\sqrt{1+x^6}\)
\(2x\sqrt{1+x^6}\)
\(2x\sqrt{1+x^3}\)
\(\frac{1}{2\sqrt{1+x^6}}\)
2
\(\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx\)
\(\sqrt{2}-1\)
\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(\frac{2\sqrt{2}-1}{3}\)
\(\frac{1}{2}\)
3
曲线 \(y=\sqrt{x}\) 绕 \(x\) 轴从 \(x=0\) 到 \(x=4\) 旋转所得立体的体积为：
\(4\pi\)
\(16\pi\)
\(8\pi\)
\(2\pi\)
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