Day 0 · 必修

前置必备知识

在开始15天课程之前，请确保你已经熟练掌握以下内容。这些是微积分的"语言"——不掌握它们，后面的学习会非常吃力。

三角函数定义

必背

在直角三角形中，设角 $\theta$ 的对边为 $a$ ，邻边为 $b$ ，斜边为 $c$ ：

\sin\theta = \frac{a}{c}

正弦 = 对边/斜边

\cos\theta = \frac{b}{c}

余弦 = 邻边/斜边

\tan\theta = \frac{a}{b}

正切 = 对边/邻边

三角函数求导公式

必背

\[\frac{d}{dx}\sin x = \cos x\] \[\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x\] \[\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x\] \[\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot x\] \[\frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x\] \[\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x\]

二倍角公式

必背

\[\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\] \[\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta\] \[\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}\]

核心三角恒等式

必背

\[\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\] \[\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta\] \[1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\]

对数运算法则

必背

\[\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N\] \[\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N\] \[\log_b(M^n) = n \cdot \log_b M\] \[\ln e^x = x \qquad e^{\ln x} = x\] \[\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} \quad\text{(换底公式)}\]

必背函数图像必背

特殊角三角函数值速查必背

θ	0	π/6 (30°)	π/4 (45°)	π/3 (60°)	π/2 (90°)
sin θ	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos θ	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tan θ	0	√3/3	1	√3	—

💡 提示：以上内容建议打印或手抄一份放在手边。在学习微积分的过程中，你需要频繁用到这些公式。如果现在还不熟悉，请花1-2天专门记忆，然后再开始Day 1的学习。