Day 4–5

第3章：Applications of Derivatives 导数应用

导数不只是计算工具——它能帮你分析函数行为、判断增减凹凸、寻找极值、解决实际优化问题。

3.1 切线法线3.2 图像分析 3.3 最优化3.4 运动学 3.5 中值定理终测

导数应用公式速查表

💡 记忆建议：这些是本章所有知识点的核心公式，做题前先过一遍，考试时直接套用。
切线方程
\(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\)
法线方程
\(y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)\)
单调性
\(f'(x) > 0 \Rightarrow\) 递增 ↗
\(f'(x) < 0 \Rightarrow\) 递减 ↘
凹凸性
\(f''(x) > 0 \Rightarrow\) Concave Up ∪
\(f''(x) < 0 \Rightarrow\) Concave Down ∩
临界点
\(f'(x) = 0\) 或 \(f'(x)\) DNE
拐点
\(f''(x)=0\) 或 DNE，且 \(f''\) 变号
First Derivative Test
\(f'\) 正→负：极大值
\(f'\) 负→正：极小值
Second Derivative Test
\(f'=0\) 且 \(f''<0\)：极大
\(f'=0\) 且 \(f''>0\)：极小
Candidates Test
闭区间上绝对极值 =
max/min{临界点值, 端点值}
优化问题
① 设变量 → ② 目标函数
③ 消元 → ④ \(f'(x)=0\) → ⑤ 判别
速度/加速度
\(v(t) = s'(t)\)
\(a(t) = v'(t) = s''(t)\)
Related Rates
两边对 \(t\) 求导
代入已知求未知变化率
MVT
\(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
\(c \in (a,b)\)
Rolle's Theorem
\(f(a)=f(b) \Rightarrow \exists c\)
使得 \(f'(c)=0\)
EVT
闭区间连续函数
必有绝对最大/最小值
IVT
\(f(a) < k < f(b) \Rightarrow\)
\(\exists c\) 使得 \(f(c)=k\)

3.1 切线与法线方程

切线方程：\(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\)

法线方程：\(y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)\)（法线垂直于切线）

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P(x₀, f(x₀)) 切线 slope=f'(x₀) 法线 slope=-1/f'(x₀) x y y=f(x)
Example 1 求 \(f(x) = x^2\) 在 \(x = 1\) 处的切线和法线方程。
\(f(1) = 1,\; f'(x) = 2x \Rightarrow f'(1) = 2\)
切线：\(y - 1 = 2(x - 1)\)，即 \(y = 2x - 1\)
法线：\(y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)\)，即 \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\)

3.2 函数图像全面分析（核心）

这是AP微积分最重要的技能之一：拿到一个函数，通过一阶导和二阶导完整分析它的行为。

3.2.1 临界点与拐点

🔴 临界点 Critical Point

\(f'(x) = 0\) 或 \(f'(x)\) 不存在 (DNE)。
临界点是极值的"候选点"。

🟠 拐点 Inflection Point

同时满足两个条件：
① \(f''(x) = 0\) 或 \(f''(x)\) 不存在 (DNE)
② \(f''(x)\) 改变符号（正→负 或 负→正）

⚠️ 临界点不一定是极值点！例如 \(f(x) = x^3\) 在 \(x=0\) 处 \(f'(0)=0\)，但 \(x=0\) 不是极值点（是拐点）。同样，\(f''(x)=0\) 不一定是拐点，必须符号改变！
🖱️ 动手试试：拖动 x 查看任意点的状态。红色点是临界点（x=-1 极大、x=1 极小），橙色点是拐点（x=0，f'' 在此变号）。
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3.2.2 单调性与凹凸性

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📺 哥伦比亚大学数学专业大一新生讲解，掌握一阶导判断单调性、二阶导判断开口方向
🔑 核心口诀：一阶导判增减，二阶导判开口。
🖱️ 动手试试：拖动 x，三个面板同步联动展示原函数 f、一阶导 f'、二阶导 f''。拖动时观察三者的关系：f' 的正负决定 f 递增/递减，f'' 的正负决定 f 凹向上/凹向下。

📈 单调性（一阶导）

  • \(f'(x) > 0\) → \(f(x)\) 递增 ↗
  • \(f'(x) < 0\) → \(f(x)\) 递减 ↘
  • \(f'(x) = 0\) 且符号 + → − → 极大值
  • \(f'(x) = 0\) 且符号 − → + → 极小值

📉 凹凸性（二阶导）

  • \(f''(x) > 0\) → 凹向上 ∪ (Concave Up)
  • \(f''(x) < 0\) → 凹向下 ∩ (Concave Down)
  • \(f''(x) = 0\) 且符号改变 → 拐点

3.2.3 极值判别法

🖱️ 动手试试：拖动 a、b 改变区间，观察函数 f(x)=x³-3x 的临界点 x=-1、x=1 如何同时决定相对极值和闭区间上的绝对极值。
🎬 极值点判别法 · 真人讲解视频
📺 哥伦比亚大学数学专业大一新生讲解，掌握一阶/二阶导数判别法判断极值点
🎬 极值补充讲解 · 真人讲解视频
📺 哥伦比亚大学数学专业大一新生补充讲解，深入理解极值判别法的应用场景与易错点
✏️ 综合练习

设 \(f(x) = (x-1)^3(x+1)\)，请完成以下问题：

  1. Find all the critical points of \(f(x)\).
  2. Find all the open intervals where the function is increasing or decreasing.
  3. Find the point of inflection, if any.
  4. Identify all the relative local extrema.
  5. Find the intervals where \(f(x)\) is concave up or concave down.
  6. Sketch the graph of \(f(x)\) on paper.
💡 先自己动手做一遍，再看下面的讲解视频。做完这题你就掌握了单调性、凹凸性和极值的全部套路！
🎬 综合练习题讲解 · 真人讲解视频
📺 哥伦比亚大学数学专业大一新生逐题讲解，手把手带你做完这道综合题

3.3 最优化问题 Optimization

最优化是AP考试的高频考点。核心思路：把实际问题转化为函数极值问题。

解题六步法：①理解问题画图 → ②设变量写目标函数 → ③约束条件消元（化单变量）→ ④求导找临界点 → ⑤判别极值 → ⑥回答原问题（带单位）
Example 3 用100m长的篱笆围一个矩形区域，一边靠墙（不需要篱笆）。求最大面积。
设垂直于墙的边长为 \(x\)，平行于墙的边长为 \(100-2x\)
面积 \(A(x) = x(100-2x) = 100x - 2x^2\)，定义域 \(x \in [0,50]\)
\(A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25\)
\(A''(25) = -4 < 0\) → 极大值
最大面积 = \(25 \times 50 = 1250\) m²
Example 4 一个无盖长方体盒子的底是正方形，容积为32cm³。求使表面积最小的底面边长。
设底面边长为 \(x\)，高为 \(h\)。容积 \(V = x^2h = 32 \Rightarrow h = \frac{32}{x^2}\)
表面积 \(S = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}\)
\(S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 128 \Rightarrow x = 4\)
\(S''(4) = 2 + \frac{256}{64} = 6 > 0\) → 极小值 ✓
最小表面积对应底面边长 \(x = 4\) cm

3.4 运动学 Kinematics

运动学考察位置、速度、加速度之间的关系——本质就是导数与二阶导数的应用。

3.4.1 直线运动学 Rectilinear Motion

位置函数：\(x(t)\) 或 \(s(t)\)

速度：\(v(t) = x'(t)\)

加速度：\(a(t) = v'(t) = x''(t)\)

速率（标量）：\(\text{speed} = |v(t)|\)

方向改变：当 \(v(t)\) 变号时，物体改变运动方向。

速度增减：\(v(t)\) 与 \(a(t)\) 同号 → 加速；异号 → 减速。

🎬 直线运动学 · 真人讲解视频
📺 运动学中的求导应用：位置 → 速度 → 加速度，深入理解导数在物理中的核心角色
Example 5 粒子位置 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)（单位：米）。求速度为0的时刻，并判断是否改变方向。
\(v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)\)
速度为0：\(t=1\) 和 \(t=3\)
\(t<1\)：\(v>0\)；\(13\)：\(v>0\)
两个时刻都改变方向 ✓

3.4.2 相关变化率 Related Rates

相关变化率的核心思想：两个相关变量随时间变化，它们的导数之间也存在关系。

解题三步：①写出变量关系式 → ②两边对 \(t\) 求导（隐函数求导）→ ③代入已知值解未知变化率
墙 x y 5m dx/dt = 0.5 m/s
Example 6 一架5m长的梯子靠在墙上，底部以0.5 m/s的速度向外滑动。当底部距墙3m时，顶部下滑的速度是多少？
设底部距墙 \(x\)，顶部高度 \(y\)，则 \(x^2 + y^2 = 25\)
对 \(t\) 求导：\(2x \cdot \frac{dx}{dt} + 2y \cdot \frac{dy}{dt} = 0\)
当 \(x=3\)，\(y = \sqrt{25-9} = 4\)，\(\frac{dx}{dt} = 0.5\)
\(2(3)(0.5) + 2(4)\frac{dy}{dt} = 0\) → \(\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{8}\) m/s
负号表示下滑。

3.4.3 向量运动学 Vector Motion

\(\mathbf{r}(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle\)

速度向量：\(\mathbf{v}(t) = \langle x'(t),\, y'(t) \rangle\)

加速度向量：\(\mathbf{a}(t) = \langle x''(t),\, y''(t) \rangle\)

速率：\(\text{speed} = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}\)

速度方向：速度向量的斜率 \(\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}\)

🎬 曲线运动讲解 · 真人讲解视频
📺 金牌教师讲解曲线运动的核心概念：向量位置函数、速度向量与加速度向量的几何意义
Example 7 粒子位置向量 \(\mathbf{r}(t) = \langle t^2 - 3t,\; \ln t \rangle\)。求 \(t=1\) 时的速度和加速度向量。
\(\mathbf{v}(t) = \langle 2t-3,\; \frac{1}{t} \rangle\)
\(\mathbf{a}(t) = \langle 2,\; -\frac{1}{t^2} \rangle\)
当 \(t=1\)：\(\mathbf{v}(1) = \langle -1,\; 1 \rangle\)，\(\mathbf{a}(1) = \langle 2,\; -1 \rangle\)

3.5 微分中值定理

四大定理是AP微积分BC的理论基础，尤其是MVT和IVT经常出现在证明题中。

Extreme Value Theorem (EVT) 最值定理

若 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在该区间上必有最大值和最小值。

Intermediate Value Theorem (IVT) 介值定理

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(k\) 介于 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 之间，则存在 \(c\in(a,b)\) 使得 \(f(c)=k\)。

Rolle's Theorem 罗尔定理

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，且 \(f(a)=f(b)\)，则存在 \(c\in(a,b)\) 使得 \(f'(c)=0\)。

Mean Value Theorem (MVT) 中值定理

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，则存在 \(c\in(a,b)\) 使得：

\[f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

几何意义：曲线上存在一点，其切线斜率等于连接端点的割线斜率。

🎬 微分中值定理 · 真人讲解视频
📺 金牌教师讲解四大微分中值定理（EVT、IVT、Rolle、MVT）的核心概念与几何意义
Example 8（MVT） 设 \(f(x) = x^2\) 在 \([1,3]\) 上，求满足 MVT 的 \(c\)。
\(f(3) = 9,\; f(1) = 1\)
割线斜率：\(\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4\)
\(f'(x) = 2x\)，令 \(f'(c) = 4\) 得 \(c = 2\)
\(c = 2\in(1,3)\)，满足 MVT ✓

章节终测（40题）

完成以下40道练习题，覆盖切线法线、函数分析、最优化、运动学、中值定理全部考点。错题自动记录到错题本。

精选40道核心题，配合AI检查和批改。
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