Day 6–8
第4章：Indefinite Integral 不定积分
求导的逆运算——从导数找回原函数。掌握基本积分公式、换元法和分部积分法。
4.1 反导数（Antiderivative）
若 \(F'(x) = f(x)\)，则 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个反导数。
\[\int f(x)\,dx = F(x) + C\]\(C\) 是积分常数！不定积分的结果是一个函数族（因为常数导数为0）。永远不要忘记 \(+C\)！
⚠️ AP考试扣分点：不定积分不写 +C 会被扣分！定积分不需要 +C。
4.2 基本积分公式表
\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)（\(n \neq -1\)）
\(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)
\(\int e^x dx = e^x + C\)
\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
\(\int \sin x\,dx = -\cos x + C\)
\(\int \cos x\,dx = \sin x + C\)
\(\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C\)
\(\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C\)
\(\int \sec x \tan x\,dx = \sec x + C\)
\(\int \csc x \cot x\,dx = -\csc x + C\)
\(\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C\)
🖱️ 动手试试：拖动 n 增加分割份数，观察矩形条如何逼近曲线下方的面积——这就是定积分的几何意义，也是理解反导数的关键。
Example 1 求 \(\int (3x^2 + 2x - 1)\,dx\)。
\(\int (3x^2 + 2x - 1)dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + x^2 - x + C\)
4.3 U-Substitution 换元积分法（重中之重！）
\[\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\]
其中 \(u = g(x)\)，\(du = g'(x)dx\)。
换元步骤：
- 选择 \(u = g(x)\)（通常选"内部函数"或分母/根号内的表达式）
- 计算 \(du = g'(x)dx\)
- 将被积表达式全部用 \(u\) 和 \(du\) 表示
- 计算关于 \(u\) 的积分
- 将 \(u\) 换回 \(x\) 的表达式，加 \(+C\)
Example 2 求 \(\int \sin(3x)\,dx\)。
设 \(u = 3x\)，则 \(du = 3dx\)，\(dx = \frac{du}{3}\)
\(\int \sin(3x)dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{3} = -\frac{1}{3}\cos(u) + C = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C\)
\(\int \sin(3x)dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{3} = -\frac{1}{3}\cos(u) + C = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C\)
Example 3 求 \(\int x\sqrt{x^2+1}\,dx\)。
设 \(u = x^2 + 1\)，则 \(du = 2x\,dx\)，\(x\,dx = \frac{du}{2}\)
\(\int x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C\)
\(\int x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C\)
4.4 三角恒等式积分技巧
处理三角函数积分时，常用的恒等式技巧——核心思想是降幂或化为可用U-Sub的形式：
- \(\int \sin^2 x\,dx\) → 用 \(\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}\)（降幂公式）
- \(\int \cos^2 x\,dx\) → 用 \(\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}\)（降幂公式）
- \(\int \sin^3 x\,dx\) → 用 \(\sin^3 x = \sin x(1-\cos^2 x)\) + U-Sub（保留一个sin作为du）
- \(\int \tan x\,dx = \ln|\sec x| + C\)（写成 sin/cos，u=cos x 换元）
- \(\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\)（乘 (sec x+tan x)/(sec x+tan x)）
Example 3.5 求 \(\int \sin^2 x\,dx\)。
使用降幂公式：\(\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}\)
\(\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int (1-\cos 2x)\,dx\)
\(= \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}\sin 2x\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\)
\(\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int (1-\cos 2x)\,dx\)
\(= \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}\sin 2x\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\)
Example 3.6 求 \(\int \tan x\,dx\)。
\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)，设 \(u = \cos x\)，\(du = -\sin x\,dx\)
\(\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C\)
\(= -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C\)
\(\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C\)
\(= -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C\)
4.5 分部积分法 Integration by Parts
\[\int u\,dv = uv - \int v\,du\]
分部积分是乘积法则的逆运算。关键：选对 \(u\) 和 \(dv\)！
LIATE法则详解——选u的优先级
当你面对两个不同类型的函数相乘时，按照以下优先级选择 \(u\)（排在前面的优先做 \(u\)）：
| 优先级 | 字母 | 函数类型 | 为什么选它做u？ | 例子 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | L | Logarithmic 对数 | 求导后变成 1/x，简单多了！ | \(\ln x\), \(\log_2 x\) |
| 2 | I | Inverse Trig 反三角 | 求导后变成代数式，不再有反三角 | \(\arctan x\), \(\arcsin x\) |
| 3 | A | Algebraic 代数（多项式） | 求导后降幂，越来越简单 | \(x^2\), \(x^3+1\) |
| 4 | T | Trigonometric 三角 | 求导后在 sin/cos 之间循环，不简化 | \(\sin x\), \(\cos x\) |
| 5 | E | Exponential 指数 | 求导后还是指数，不简化 | \(e^x\), \(2^x\) |
🔑 LIATE法则的核心逻辑：选择求导后变得更简单的函数作为 \(u\)。
- \(\ln x\) 求导 → \(1/x\)（变简单了！）
- \(x^2\) 求导 → \(2x\)（降幂，变简单了！）
- \(e^x\) 求导 → \(e^x\)（没变化，不如让给别人做u）
- \(\sin x\) 求导 → \(\cos x\)（没简化，只是换了个三角）
⚠️ LIATE不是绝对的！特殊情况：当两个函数中有一个求导后会消失（如多项式多次求导后为0），考虑用表格法（Tabular Method）。当出现循环积分（如 \(\int e^x\sin x\,dx\)）时，任意选u都可以，通过两次分部积分+移项求解。
- \(\ln x\) 求导 → \(1/x\)（变简单了！）
- \(x^2\) 求导 → \(2x\)（降幂，变简单了！）
- \(e^x\) 求导 → \(e^x\)（没变化，不如让给别人做u）
- \(\sin x\) 求导 → \(\cos x\)（没简化，只是换了个三角）
⚠️ LIATE不是绝对的！特殊情况：当两个函数中有一个求导后会消失（如多项式多次求导后为0），考虑用表格法（Tabular Method）。当出现循环积分（如 \(\int e^x\sin x\,dx\)）时，任意选u都可以，通过两次分部积分+移项求解。
Example 4 求 \(\int x \cdot e^x\,dx\)。
按LIATE：A(\(x\)) 优先于 E(\(e^x\))，所以 \(u=x\)，\(dv=e^x dx\)。
则 \(du = dx\)，\(v = e^x\)
\(\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C\)
则 \(du = dx\)，\(v = e^x\)
\(\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C\)
更多分部积分类型
Example 5 求 \(\int \ln x\,dx\)。（对数积分）
L(\(\ln x\)) 最优先，所以 \(u=\ln x\)，\(dv=dx\)。
\(du = \frac{1}{x}dx\)，\(v = x\)
\(\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx\)
\(= x\ln x - x + C\)
\(du = \frac{1}{x}dx\)，\(v = x\)
\(\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx\)
\(= x\ln x - x + C\)
Example 6 求 \(\int \arctan x\,dx\)。（反三角积分）
I(\(\arctan x\)) 最优先，所以 \(u=\arctan x\)，\(dv=dx\)。
\(du = \frac{1}{1+x^2}dx\)，\(v = x\)
\(\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx\)
第二个积分用U-Sub：\(w=1+x^2\)，\(dw=2x\,dx\)，\(\int \frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\)
\(= x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\)
\(du = \frac{1}{1+x^2}dx\)，\(v = x\)
\(\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx\)
第二个积分用U-Sub：\(w=1+x^2\)，\(dw=2x\,dx\)，\(\int \frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\)
\(= x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\)
Example 7 求 \(\int e^x \sin x\,dx\)。（循环积分——分部积分的高级技巧）
设 \(I = \int e^x\sin x\,dx\)。选 \(u=\sin x\)，\(dv=e^x dx\)。
\(du = \cos x\,dx\)，\(v = e^x\)
\(I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx\)
对 \(\int e^x\cos x\,dx\) 再次分部积分：\(u=\cos x\)，\(dv=e^x dx\)
\(du = -\sin x\,dx\)，\(v = e^x\)
\(\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I\)
代入：\(I = e^x\sin x - (e^x\cos x + I) = e^x\sin x - e^x\cos x - I\)
\(2I = e^x(\sin x - \cos x)\)
\(I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C\)
这个技巧叫做"循环积分"：两次分部积分后原积分重现，通过移项求解。
\(du = \cos x\,dx\)，\(v = e^x\)
\(I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx\)
对 \(\int e^x\cos x\,dx\) 再次分部积分：\(u=\cos x\)，\(dv=e^x dx\)
\(du = -\sin x\,dx\)，\(v = e^x\)
\(\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I\)
代入：\(I = e^x\sin x - (e^x\cos x + I) = e^x\sin x - e^x\cos x - I\)
\(2I = e^x(\sin x - \cos x)\)
\(I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C\)
这个技巧叫做"循环积分"：两次分部积分后原积分重现，通过移项求解。
课后练习
1
\(\int (4x^3 - 2x + 5)\,dx = ?\)
🤖 AI 辅导
正确答案：\(x^4 - x^2 + 5x + C\)
用幂法则逐项积分：\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)。所以 \(\int 4x^3 dx = x^4\)，\(\int -2x dx = -x^2\)，\(\int 5 dx = 5x\)。最后一定要加 \(C\)！
2
\(\int \cos(5x)\,dx = ?\)
🤖 AI 辅导
正确答案：\(\frac{1}{5}\sin(5x) + C\)
用换元法：设 \(u=5x\)，则 \(du=5dx\)，\(dx=\frac{du}{5}\)。于是 \(\int \cos(5x)dx = \int \cos u \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5}\sin u + C = \frac{1}{5}\sin(5x)+C\)。
3
\(\int \ln x\,dx = ?\)
🤖 AI 辅导
正确答案：\(x\ln x - x + C\)
使用分部积分：设 \(u=\ln x\)，\(dv=dx\)，则 \(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v=x\)。由 \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\)，得 \(\int \ln x dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C\)。
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